Question

（14分）已知函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

解析: ,

由得  ,.---------------------2分

 (Ⅰ) 當(dāng)時(shí), ,，,

所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為,即--------------------4分

 (Ⅱ) 存在,使得,

  ，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

所以的最大值為.                                         -----------------9分

		極大值		極小值

 (Ⅲ) 當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：

-

 

 

 

 

---11分

 

的極大值，的極小值

又，.

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，

故函數(shù)共有三個(gè)零點(diǎn)。--------------------14分

注：①證明的極小值也可這樣進(jìn)行:

設(shè)，則

當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,從而的極小值.

②證明函數(shù)共有三個(gè)零點(diǎn)。也可這樣進(jìn)行:

的極大值，的極小值,

當(dāng) 無(wú)限減小時(shí)，無(wú)限趨于 當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨于

    故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，

故函數(shù)共有三個(gè)零點(diǎn)。--------------------14分