Question

5．已知等差數列{a_n}滿足a₁=3，a₅=15，數列{b_n}滿足b₁=4，b₅=31，設正項等比數列{c_n}滿足c_n=b_n-a_n．
（1）求數列{a_n}和{c_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用等差數列與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，依題意得a₅=a₁+4d⇒3+4d=15⇒d=3，所以a_n=3+3（n-1）=3n．
設等比數列{c_n}的公比為q，依題意得c₁=b₁-a₁=4-3=1，c₅=b₅-a₅=31-15=16，
從而${c_5}={c_1}{q^4}⇒16=1×{q^4}⇒q=2$，所以${c_n}=1×{2^{n-1}}={2^{n-1}}$．
（2）因為${c_n}={b_n}-{a_n}⇒{b_n}={a_n}+{c_n}⇒{b_n}=3n+{2^{n-1}}$，所以數列{b_n}的前n項和S_n=（3+1）+（6+2）+（9+2²）+…+（3n+2^n-1）
=（3+6+…+3n）+（1+2+2²+…+2^n-1）
=$\frac{n（3+3n）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$+2ⁿ-1．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．