Question

【題目】若數列滿足：對于任意的正整數，，，且，則稱該數列為“跳級數列”.

（1）若數列為“跳級數列”，且，求、的值；

（2）若數列為“跳級數列”，則對于任意一個大于的質數，在數列中總有一項是的倍數；

（3）若為奇質數，則存在一個“跳級數列”，使得數列中每一項都不是的倍數.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據題中定義求出的值，再由以及可求出的值，求出，，結合，以及可得出的值；

（2）根據“跳級數列”的定義得出為正整數，并記，可得出，并記，則存在使得，利用可得知、、、、、除以所得余數互不相同，由此可知、、、、、中必存在一項為的倍數；

（3）對于正整數，設為非負整數，且滿足，根據定義得出，然后取數列滿足條件.

（1）由“跳級數列”的定義可得，且以及，，

，，

由題意可得，且，因此，；

（2）數列為“跳級數列”，，為正整數，

記，

可知，且，記，

對于質數，必存在，使得，反復應用，

得，

另一方面，因為對于滿足的任意，均有.

所以對于所有，都有（利用迭加）.

這表明，數列、、、、、是以為公差的等差數列.

假設對于整數對，均有是質數的整數倍，

即必為的整數倍，，且同時成立，知這與為質數矛盾.

由此可知，、、、、、除以所得余數互不相同.

（構造一個的完全剩余系）所以必有一個是的倍數；

（3）對于正整數，設為非負整數，且滿足，

則，即.

根據定義有，由，且，

令，則，

則顯然為“跳級數列”，又為奇質數，于是，不為的倍數，因此也不為的倍數.