Question

【題目】已知位數滿足下列條件：①各個數字只能從集合中選取；②若其中有數字4,則在4的前面不含2.將這樣的n位數的個數記為

（1）求；

（2）探究與之間的關系,求出數列的通項公式；

（3）對于每個正整數,在與之間插入個得到一個新數列,設是數列的前項和,試探究能否成立？寫出你探究得到的結論并給出證明.

Answer 1

【答案】(1) , ；(2) ；(3)不能成立,證明過程見解析.

【解析】

(1)根據已知分類討論可以計算出的值；

(2)根據已知分類討論可以求出與之間的關系,通過恒等變形可以轉化成等差數列,最后求出數列的通項公式；

(3)分別計算數列前6項,可得,即可得了結論.

(1) 時,若個位上數字是1，2，3時,十位上的數字有四種選擇方法；

當個位上數字是4時，十位上的數字中有三種選擇方法，因此；

時,若個位上數字是1，2，3時,每種情況下符合條件的數字都有種,

當個位上數字是4時，十位上的數字和百位上的數字都有三種選擇方法,因此

.

所以,；

(2)當n+1位數時，若個位上的數字是1，2，3時,每種情況下符合條件的數字都有種,當個位上數字是4時，其他數位上的數字都有三種選擇方法，因此

,變形為：,所以數列是以為首項, 為公差的等差數列,即；

(3)由通項公式可知：

,故不成立.