Question

11．若關于x的函數f（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x+{a}^{2}+sinx}{{x}^{2}+a}$，（a＞0）的最大值為M，最小值為N，且M+N=8，則實數a的值為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+a}$，則g（-x）=-g（x），即g（x）為奇函數，函數f（x）=a+g（x），則M+N=2a，進而得到答案．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x+{a}^{2}+sinx}{{x}^{2}+a}$=a+$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+a}$，
令g（x）=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+a}$，
則g（-x）=-g（x），即g（x）為奇函數，
令函數g（x）最大值為m，最小值為n，
則m+n=0，M=a+m，N=a+n，
故M+N=8=2a，
解得：a=4，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，函數的奇偶性，難度中檔．