Question

【題目】
（1）求對(duì)稱(chēng)軸是 軸，焦點(diǎn)在直線(xiàn) 上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)拋物線(xiàn) 焦點(diǎn) 的直線(xiàn) 它交于 兩點(diǎn)，求弦 的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：對(duì)稱(chēng)軸是 軸則頂點(diǎn)在焦點(diǎn)在 軸

所以 ，則 ， ，
.
（2）解：由題知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為 ，
當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)為 ，則焦點(diǎn)弦方程為 ，
代入拋物線(xiàn)方程得所以 ，由題意知斜率不等于0，
方程是一個(gè)一元二次方程，由韋達(dá)定理：
所以中點(diǎn)坐標(biāo)：
代入直線(xiàn)方程
中點(diǎn)縱坐標(biāo)；
即中點(diǎn)為
消參數(shù) ，得其方程為
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的中點(diǎn)是 ，符合題意，
故答案為: .
【解析】(1)先求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo),再求拋物線(xiàn)的方程;
(2)設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)的方程代入到拋物線(xiàn)方程中,消去y得關(guān)于x的一元二次方程,結(jié)合 韋達(dá)定理,表示出弦中點(diǎn)的坐標(biāo),消去參數(shù)k得中點(diǎn)軌跡方程.