Question

當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　　）

• A、y²=-

  9

  2

  x或x²=

  4

  3

  y
• B、y²=

  9

  2

  x或x²=

  4

  3

  y
• C、y²=

  9

  2

  x或x²=-

  4

  3

  y
• D、y²=-

  9

  2

  x或x²=-

  4

  3

  y

Answer 1

分析：直線過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明直線（a-1）x-y+2a+1=0是直線系方程，先求出定點(diǎn)P，再根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求過(guò)點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)P，則直線可化為（x+2）a+（-x-y+1）=0，
對(duì)于a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，此式恒成立有

x+2=0 -x-y+1

=0得

x=-2 y=3

，依題意拋物線為 y²=-2px和x²=2py
當(dāng)y²=-2px時(shí)得9=4p，所以p=

9

4

，此時(shí)拋物線方程為 y²=-

9

2

x；
當(dāng)x²=2py時(shí)，4=6p，所以p=

2

3

，此時(shí)拋物線方程為 x²=

4

3

y．
則過(guò)點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：y²=-

9

2

x 和x²=

4

3

y．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線系方程和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線系過(guò)定點(diǎn)的求法要當(dāng)心，拋物線的四種形式不可混淆．