Question

給出下列四個結論：
①若α、β為銳角，tan（α+β）=-3，tanβ=

1

2

，則α+2β=

3π

4

；
②在△ABC中，若

AB

•

BC

＞0，則△ABC一定是鈍角三角形；
③已知雙曲線

x2

4

+

y2

m

=1，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）；
④當a為任意實數時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則焦點在y軸上且過點P的拋物線的標準方程是x²=

4

3

y．其中所有正確結論的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由題意可先求tan（α+2β）=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

，結合α，β為銳角且tanβ=

1

2

可求α+2β的范圍，進而可求
②由

AB

•

BC

＞0，可得

BA

•

BC

＜0，則B＞90°
③根據離心率的范圍求得m的取值范圍判斷．
④，先求出直線恒過的定點，再求出符合條件的拋物線方程

解答：解：①由tan（α+β）=-3，tanβ=

1

2

，則可得tan（α+2β）=

tan(α+β)+tanβ

1-tan(α+β)tanβ

=

-3+ 1 2

1+3× 1 2

=-1
∵α，β為銳角且tanβ=

1

2

＜

3

3

可知β＜

π

6

∴0＜α+2β＜

5π

6

∴α+2β=

3π

4

，故①正確
②△ABC中，若

AB

•

BC

＞0，則

BA

•

BC

＜0，則B＞90°，則△ABC一定是鈍角三角形，故②正確
③離 心率1＜e=

4-m

2

＜2，解得-12＜m＜0，故m的范圍是-12＜m＜0，③正確，
④整理直線方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P（-2，3），可設拋物線方程為x²=2py，由過（-2，3）可得4=6p，則p=

3

2

，故符合條件的方程是 x2=

4

3

y，則④正確
故其中所有正確結論的個數是：4
故選D．

點評：本小題主要考查拋物線的標準方程及性質、雙曲線的標準方程及性質、不等式的解法，兩角和的正切公式的應用及向量的夾角的應用．