Question

函數(shù)f（x）=x+sin2x（-

π

2

≤x≤π）的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的最值，繼而得到函數(shù)的值域．

解答： 解：∵f（x）=x+sin2x（-

π

2

≤x≤π），
∴f′（x）=1+2cos2x，
畫出導函數(shù)的圖象，如圖所示

當f′（x）=1+2cos2x=0，解得cos2x=-

1

2

，即x=-

π

3

，或x=

π

3

，或x=

2π

3

，
當f′（x）＞0時，即cos2x＞-

1

2

，即-

π

3

＜x＜

π

3

，或

2π

3

＜x≤π，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，即cos2x＜-

1

2

，即-

π

2

≤x＜-

π

3

或

π

3

＜x＜

2π

3

，函數(shù)單調(diào)遞減，
故當x=-

π

3

，和x=

2π

3

取的極小值，當x=

π

3

時，取的極大值，
∴f（-

π

3

）=-

π

3

-

3

2

，f（

2π

3

）=

2π

3

-

3

2

，f（-

π

2

）=-

π

2

，f（

π

3

）=

π

3

+

3

2

，f（π）=π，
∴函數(shù)f（x）的最小值為：-

π

3

-

3

2

，最大值為π，
故函數(shù)的值域為[-

π

3

-

3

2

，π]
故答案為：[-

π

3

-

3

2

，π]

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的值域的方法，屬于中檔題