Question

已知方程xe^x=2010與xlnx=2010的根分別為α和β，則αβ=（ ）
A．2010
B．2012
C．2010²
D．2012²

Answer 1

【答案】分析：方程的根就是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，也就是函數(shù)的零點(diǎn)，利用函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，推出函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解本題．
解答：解：由題意，β是方程xlnx=2011的根，α是方程xe^x=2011的根，
所以β是方程lnx=的根，α是方程e^x═的根，
即β是函數(shù)y=lnx與y=交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，α是函數(shù)y=e^x與y=交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)楹瘮?shù)y=e^x與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，所以β等于函數(shù)y=e^x與y=交點(diǎn)的縱坐標(biāo)
即：β•α=β•=2010
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，反函數(shù)的知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．