Question

已知方程xe^x=2010與xlnx=2010的根分別為α和β，則αβ=（　　）

A．2010

B．2012

C．2010²

D．2012²

Answer 1

分析：方程的根就是對應函數圖象的交點，也就是函數的零點，利用函數y=e^x與函數y=lnx互為反函數，推出函數圖象交點的橫坐標與縱坐標的關系，即可求解本題．

解答：解：由題意，β是方程xlnx=2011的根，α是方程xe^x=2011的根，
所以β是方程lnx=

2010

x

的根，α是方程e^x═

2010

x

的根，
即β是函數y=lnx與y=

2010

x

交點的橫坐標，α是函數y=e^x與y=

2010

x

交點的橫坐標，
因為函數y=e^x與函數y=lnx互為反函數，圖象關于y=x對稱，所以β等于函數y=e^x與y=

2010

x

交點的縱坐標
即：β•α=β•

2010

β

=2010
故選A．

點評：本題考查對數的運算性質，指數函數與對數函數的關系，反函數的知識，考查轉化思想，是中檔題．