Question

15．已知四棱錐P-ABCD中底面四邊形ABCD是正方形，各側面都是邊長為2的正三角形，M是棱PC的中點．建立空間直角坐標系，利用空間向量方法解答以下問題：
（1）求證：PA∥平面BMD；
（2）求二面角M-BD-C的平面角的大小．

Answer 1

分析 （1）連結AC、BD交于點O，連結OP，以O為原點，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能證明PA∥平面BMD．
（2）求出平面ABCD的法向量和平面MBD的法向量，利用向量法能求出二面角M-BD-C的平面角．

解答 證明：（1）連結AC、BD交于點O，連結OP．…（1分）
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵PA=PC，∴OP⊥AC，
同理OP⊥BD，…（2分）
以O為原點，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OP}$分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz，

$P（0，0，\sqrt{2}），A（\sqrt{2}，0，0），B（0，\sqrt{2}，0），M（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，…（3分）
$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}），\overrightarrow{OB}=（0，\sqrt{2}，0），\overrightarrow{OM}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，…（4分）
平面BMD的法向量為$\overrightarrow n=（1，0，1）$，
∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow n=0$，$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow n$，又PA?平面BMD，…（5分）
∴PA∥平面BMD．…（6分）
解：（2）平面ABCD的法向量為$\overrightarrow a=（0，0，1）$…（7分）
平面MBD的法向量為$\overrightarrow b=（x，y，1）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}y=0\\-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+\frac{{\sqrt{2}}}{2}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=1\end{array}\right.$，…（8分）
∴$\overrightarrow b=（1，0，1）$…（9分）
二面角M-BD-C的平面角為α，
則$cosα=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，α=45°，…（11分）
∴二面角M-BD-C的平面角45°．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．