Question

（2012•安徽模擬）定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足對任意m＞0，n∈R有f（mⁿ）=nf（m），且當0＜x＜1時f（x）＜0
（1）求f（1）；
（2）證明：當x＞1時f（x）＞0；
（3）證明：函數f（x）在（0，+∞）上遞增．

Answer 1

分析：（1）利用賦值，取m=1，n=2可求f（1）
（2）設x＞1，則0＜

1

x

＜1，結合已知可得f(

1

x

)＜0，由f（mⁿ）=nf（m），可得f(

1

x

)=f(x-1)=-f(x)＜0可證
（3）由f（m^α+β）=f（m^α×m^β）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（m^α）+f（m^β），可得f（xy）=f（x）+f（y），設0＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

×x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0，根據單調性的定義可證

解答：（1）解：取m=1，n=2得f（1²）=2f（1），
∴f（1）=0
（2）證明：設x＞1，則0＜

1

x

＜1，又0＜x＜1時，f（x）＜0，
∴f(

1

x

)＜0
∵m＞0，n∈R有f（mⁿ）=nf（m），
∴f(

1

x

)=f(x-1)=-f(x)＜0
∴f（x）＞0
即x＞1時，f（x）＞0
（3）證明：∵f（m^α+β）=f（m^α×m^β）=（α+β）f（m）=αf（m）+βf（m）=f（m^α）+f（m^β），
記m^α=x＞0，m^β=y＞0，則f（xy）=f（x）+f（y），
設0＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

×x2)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0即f（x₁）＜f（x₂），
故函數f（x）在（0，+∞）上單增．

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，賦值法是求解抽象函數的函數值的常用的方法，其中在解答抽象函數的關鍵是配湊