Question

已知F是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）右焦點，若F到雙曲線C的漸近線的距離是1，且雙曲線C的離心率e=

6

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過點A（0，1）的直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點P、Q，且P在A、Q之間，若

AP

=

1

2

AQ

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線的右焦點F到漸近線的距離是1，得，

bc

a2+b2

=1，根據(jù)雙曲線C的離心率e=

6

2

得，

c

a

=

6

2

，再結(jié)合雙曲線中a，b，c的關(guān)系，解出a，b，就求出雙曲線C的方程．
（2）設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出x₁+x₂，x₁x₂，根據(jù)

AP

=

1

2

AQ

得到一個關(guān)于k的等式，解k，即可求出直線l的方程

解答：解：（1）由對稱性，不妨設(shè)一漸近線為y=

b

a

x，右焦點為F（c，0），
則

bc

a2+b2

=1，即b=1又e=

c

a

=

6

2

∴解得a²=2，所以雙曲線C的方程是

x2

2

-y2=1；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=kx+1，設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2-2y2=2

得：（1-2k²）x²-4kx-4=0，
∵l與雙曲線C的右支交于不同的兩點P、Q，
∴

△=16k2+16(1-2k2)＞0 x1+x2= -4k 2k2-1 ＞0 x1x2= 4 2k2-1 ＞0 1-2k2≠0

∴

1

2

＜k2＜1且k＜0①
又∵

AP

=

1

2

AQ

，∴(x1，y1-1)=

1

2

(x2，y2-1)x₂=2x₁
∴3x1=

-4k

2k2-1

，3x1=

-8k

2k2-1

∴9x1x2=

32k2

(2k2-1)2

=9×

4

2k2-1

，k=±

3 10

10

滿足①式．
∴直線l的方程為y=

3 10

10

x+1或y=-

3 10

10

x+1

點評：本題主要考查了雙曲線方程的求法，以及根據(jù)直線與雙曲線位置求直線方程，屬于圓錐曲線的常規(guī)題．