Question

如圖所示,AB為☉O直徑,直線CD與☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.證明:

(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF²=AD·BC.

Answer 1

見解析

證明:(1)由直線CD與☉O相切,
得∠CEB=∠EAB.
由AB為☉O的直徑,
得AE⊥EB,
從而∠EAB+∠EBF=;
又EF⊥AB,得
∠FEB+∠EBF=,
從而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,
∠FEB=∠CEB,BE是公共邊,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,
所以BC=BF.
類似可證:Rt△ADE≌Rt△AFE,
得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,
故EF²=AF·BF,
所以EF²=AD·BC.