Question

已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x（a∈R，e為自然對數的底）
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（II）若對任意給定的x₀∈（0，e]，在區間（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數的導數，然后根據導數與單調區間的關系確定函數的單調區間，
（II）根據）若對任意給定的x₀∈（0，e]，在區間（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，得到函數f（x）在區間（0，e]上不單調，并且有

f( 2 2-a )=a-2ln 2 2-a ≤0 f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1

，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=(2-a)-

2

x

，(x＞0)，
∴（1）當2-a≤0即a≥2時f'（x）＜0恒成立．
（2）當2-a＞0即a＜2時，由f'（x）＜0，得0＜x＜

2

2-a

；
由f'（x）＞0，得x＞

2

2-a

．
因此：當a≥2時函數f（x）的單調減區間是（0，+∞）；
當a＜2時，函數f（x）的單調減區間是(0，

2

2-a

)，單調增區間是(

2

2-a

，+∞)
（II）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，e]上單調遞減，
又因為g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e＞0，
∴g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]．
由（Ⅰ）知當a≥2時函數f（x）在區間（0，e]上單調遞減，不合題意，
∴a＜2，并且0＜

2

2-a

＜e，即a＜2-

2

e

①
∵x→0時f（x）→+∞，故對任意給定的x₀∈（0，e]，在區間（0，e]上總存在兩個不同x_i（i=1，2），
使得f（x_i）=g（x₀）成立，當且僅當a滿足

f( 2 2-a )=a-2ln 2 2-a ≤0 f(e)=(2-a)(e-1)-2≥1

，
注意到f（1）=0，故只要f（e）=（2-a）（e-1）-2≥1，即a≤2-

3

e-1

②
由①②知，所求的a得取值范圍是(-∞，2-

3

e-1

]

點評：此題是個難題．考查利用導數研究函數的單調性，和求函數的最值問題，體現了分類討論和數形結合以及題意的理解與轉化的思想．特別是問題（2）的設置，考查了學生創造性分析解決問題的能力．