Question

（2008•崇明縣一模）設

OA

=(2sinx，cos2x)，

OB

=(cosx，-1)，x∈[0，

π

2

]．
（1）當

OA

⊥

OB

時，求x的值．
（2）若f(x)=

OA

•

OB

，求f（x）的最大值與最小值，并求出相應x的取值．

Answer 1

分析：（1）

OA

⊥

OB

的等價條件是

OA

•

OB

=0，利用向量數量積化簡求x．
（2）將f（x）化為 f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)，再利用三角函數性質解決．

解答：解：（1）由

OA

⊥

OB

得

OA

•

OB

=0，（2分）
所以sin2x=cos2x，即tan2x=1（4分）
由于x∈[0，

π

2

]，所以2x=

π

4

，即：x=

π

8

．                             （6分）
（2）f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)，（2分）
當x=0時，2x-

π

4

=-

π

4

，y_min=-1；                                 （5分）
當x=

3π

8

時2x-

π

4

=

π

2

，ymax=

2

．                                  （8分）

點評：本題考查向量的數量積的運算，三角函數的性質．考查轉化、計算能力．