Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過焦點垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）斜率為k的直線l經過原點，與橢圓E相交于不同的兩點M，N，判斷并說明在橢圓E上是否存在點P，使得△PMN的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意， ，得c=1，∴b2=a2﹣c2=1．

則橢圓E的方程為：

（2）解：存在．

設點P（x，y），直線l的方程為y=x﹣1．

由 ，得M（0，﹣1），N（ ），

則|MN|= ．

則點P到直線l的距離為 ．

設過點P與直線l平行的直線l1：y=x+m．

聯立 ，得3x2+4mx+2m2﹣2=0．

由△=16m2﹣12（2m2﹣2）=0，解得m= ．

當m= 時，l與l1之間的距離為 ＞1；

當m=﹣ 時，l與l1之間的距離為 ＜1．

則在橢圓E上存在點P，使得△PMN的面積為

【解析】（1）由題意求得a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）設出P點坐標及直線l的方程，由△PMN的面積為 求得點P到直線l的距離為1，再設出過點P與直線l平行的直線l1：y=x+m．與橢圓方程聯立，由判別式等于0求得m值，再結合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離，與1比較得答案．