Question

設函數f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，f(0)=

1

2

，數列{a_n}滿足f（1）=n²a_n（n∈N^*），則數列{a_n}的通項a_n等于

 

．

Answer 1

分析：由f（0）=

1

2

，得到a1=

1

2

，由f（1）=n²a_n得到s_n=n2a_n，這樣數列變為已知首項和前n項和求數列的通項的問題，仿寫一個等式，兩式相減，合并同類項，約分化簡，得到數列連續兩項之間關系，疊乘得到結果．

解答：解：∵f(0)=

1

2

，
∴a1=

1

2

，
∵f（1）=n²an，
∴s_n=n²a_n，
∴s_n+1=（n+1）²a_n+1，
兩式相減得：a_n+1=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴

an+1

an

=

n

n+2

，
用疊乘得到an=

1

(n+1)n

故答案為：an=

1

(n+1)n

點評：在主觀題中著重考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數法等基本數學方法．應用問題考查的重點是現實客觀事物的數學化，常需構造數列模型，將現實問題轉化為數學問題來解決．