Question

如圖，A、B是兩圓O₁、O₂的交點，AC是小圓O₁的直徑，D和E分別是CA和CB的延長線與大圓O₂的交點，已知AC=2，BE=5，且BC=AD．
（Ⅰ）求DE的長；
（Ⅱ）求圓O₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據題中圓的切線條件再依據切割線定理求得一個線段的等式，再根據線段的關系可求得DE的長度即可．
（2）由AE為圓O₂的直徑得，直角三角形ADE，再結合勾股定理即可求得圓的直徑，從而求出圓的面積．
解答：解：（Ⅰ）連接AB，設CB=AD=x，
由切割線定理得，CA•CD=CB•CE，即2（2+x）=x（x+5），（2分）
解得x=1或x=-4（舍去），即CD=3，CE=6，
∵CA是直徑，
∴∠CBA=90°，即∠D=90°，（4分）
∴CD²+DE²=CE²，∴．（6分）
（Ⅱ）連接AE，
∵∠D=90°，AE為圓O₂的直徑，（8分）
∵AD²+DE²=AE²，
∴AE²=28，
∴圓O₂的面積為7π．（10分）
點評：本題考查與圓有關的比例線段、平面幾何的切割線定理，屬容易題．