Question

如圖，A、B是單位圓O上的點，C、D分別是圓O與x軸的兩個交點，△ABO為正三角形．
（1）若點A的坐標為，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△ABO為正三角形求得∠BOA，利用點A的坐標求得sin∠AOC和cos∠AOC，進而利用兩角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分別求得AC和BD，進而根據△ABO為正三角形求得AB，CD可知，四邊相加得到y的函數解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用x的范圍和正弦函數的性質求得函數的最大值．
解答：解：（1）∵△ABO為正三角形
∴∠BOA=60°
∵點A的坐標為
∴tan∠AOC=，
∴sin∠AOC=，cos∠AOC=
∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°-sin∠AOCsin60°=；

（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（-），
AB=OB=1，CD=2，
∴
=
=
=，0＜x＜
∴當x=時，y_max=5
點評：本題主要考查了三角函數的最值，數學模型的應用．考查了學生分析問題和解決問題的能力．