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如圖，A、B是單位圓O上的點，C、D分別是圓O與x軸的兩個交點，△ABO為正三角形．
（1）若點A的坐標為 $數學公式$ ，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜ $數學公式$ ），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數，并求出y的最大值．

解：（1）∵△ABO為正三角形
∴∠BOA=60°
∵點A的坐標為 $\text{[math]}$
∴tan∠AOC= $\text{[math]}$ ，
∴sin∠AOC= $\text{[math]}$ ，cos∠AOC= $\text{[math]}$
∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°-sin∠AOCsin60°= $\text{[math]}$ ；

（2）由余弦定理可知AC= $\text{[math]}$ =2sin $\text{[math]}$ ，BD= $\text{[math]}$ =2sin（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
AB=OB=1，CD=2，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，0＜x＜ $\text{[math]}$
∴當x= $\text{[math]}$ 時，y_max=5
分析：（1）根據△ABO為正三角形求得∠BOA，利用點A的坐標求得sin∠AOC和cos∠AOC，進而利用兩角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分別求得AC和BD，進而根據△ABO為正三角形求得AB，CD可知，四邊相加得到y的函數解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用x的范圍和正弦函數的性質求得函數的最大值．
點評：本題主要考查了三角函數的最值，數學模型的應用．考查了學生分析問題和解決問題的能力．

練習冊系列答案

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如圖，A、B是單位圓O上的動點，C是圓與x軸正半軸的交點，設∠COA=α．
（1）當點A的坐標為(

，

)時，求sinα的值；
（2）若0≤α≤

，且當點A、B在圓上沿逆時針方向移動時，總有∠AOB=

，試求BC的取值范圍．

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如圖，A、B是單位圓O上的點，C、D分別是圓O與x軸的兩個交點，△ABO為正三角形．
（1）若點A的坐標為(

，

)，求cos∠BOC的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x＜

2π

），四邊形CABD的周長為y，試將y表示成x的函數，并求出y的最大值．

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如圖：A、B是單位圓上的動點，C是單位圓與x軸正半軸的交點，
且∠AOB=

，記∠COA=θ，θ∈（0，π），△AOC的面積為S．
（Ⅰ）設（θ）=OB→•OC→+2S，求f（θ）的最大值以及此時θ的值；
（Ⅱ）當A點坐標為(-

，

)時，求|

|2的值．

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如圖，A，B是單位圓上的兩個質點，B點坐標為（1，0），∠BOA=60°，質點A以1弧度/秒的角速度按逆時針方向在單位圓上運動；質點B以1弧度/秒的角速度按順時針方向在單位圓上運動，過點A作AA₁⊥y軸于A₁，過點B作BB₁⊥y軸于B₁．
（1）求經過1秒后，∠BOA的弧度數；
（2）求質點A，B在單位圓上第一次相遇所用的時間；
（3）記A₁B₁的距離為y，請寫出y與時間t的函數關系式，并求出y的最大值．

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