Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=2B，sinB=

3

3

．
（Ⅰ）求cosA及sinC的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據cosA=cos2B=1-2sin²B，及sinB=

3

3

，可求cosA及sinC的值；
（Ⅱ）先計算sinA的值，再利用正弦定理，確定a的值，過點C作CD⊥AB于D，利用c=acosB+bcosA，即可求得三角形的面積．

解答：解：（Ⅰ）因為A=2B，所以cosA=cos2B=1-2sin²B．…（2分）
因為sinB=

3

3

，所以cosA=1-

2

3

=

1

3

．…（3分）
由題意可知，B∈(0，

π

2

)，所以cosB=

6

3

．…（5分）
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

5 3

9

．…（8分）
（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=

2 2

3

因為

b

sinB

=

a

sinA

，b=2，所以

2

3 3

=

a

2 2 3

，所以a=

4 6

3

．…（10分）
由cosA=

1

3

可知，A∈(0，

π

2

)．
過點C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=

4 6

3

×

6

3

+2×

1

3

=

10

3

．…（12分）
所以S△ABC=

1

2

absinC=

20 2

9

．…（13分）

點評：本題考查二倍角公式，考查正弦定理的運用，解題的關鍵是搞清三角形中邊角之間的關系．