Question

17．在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月最多生產100臺報警系統裝置，生產x（x∈N^*）臺的收入函數為R（x）=3000x+ax²（單位：元），其成本函數為C（x）=kx+4000（單位：元），利潤是收入與成本之差．當生產10臺時，成本為9000元，利潤為19000元．
（1）求利潤函數P（x）及邊際利潤函數MP（x）；
（2）利潤函數P（x）與邊際利潤函數MP（x）是否具有相同的最大值？

Answer 1

分析 （1）k=500，a=-20，利用利潤等于收入與成本之差代入可得利潤函數P（x）的表達式，進而利用邊際函數的定義可得邊際利潤函數MP（x）的表達式；
（2）通過（1）分別計算出各自的最大值，進而比較即得結論．

解答 解：（1）k=500，a=-20，P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x²）-（500x+4 000）
=-20x²+2 500x-4 000（x∈[1，100]且x∈N）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）²+2 500（x+1）-4 000-（-20x²+2 500x-4 000）
=2 480-40x （x∈[1，100]且x∈N）．
（2）P（x）=-20（x-$\frac{125}{2}）$²+74 125，當x=62或63時，P（x）_max=74 120（元）．
因為MP（x）=2 480-40x是減函數，所以當x=1時，MP（x）_max=2 440（元）．
因此，利潤函數P（x）與邊際利潤函數MP（x）不具有相同的最大值．

點評 本題考查函數模型的選擇與應用，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．