Question

（本小題滿分14分）如圖5，正△的邊長為4，是邊上的高，分別是和邊的中點，現將△沿翻折成直二面角．
（1）試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在一點，使？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）在線段BC上存在點P使AP⊥DE。此時，.

本試題主要是考查了立體幾何中線面的位置關系，以及二面角的求解，以及線線垂直的綜合運用。
（1）在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF
（2）建立空間直角坐標系，得到發向量，運用法向量的夾角的都二面角的平面角的求解。
（3）設
得到點P的值。
（1）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF//AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．         …………3分
法一：（2）以點D為坐標原點，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，.…………4分
平面CDF的法向量為設平面EDF的法向量為，
則
 即，               …………6分
，所以二面角E—DF—C的余弦值為；…8分
（3）設，
又，
。    …………10分
把，
所以在線段BC上存在點P使AP⊥DE。此時，.       …………12分