Question

已知函數f（x）=（1-k）x+

m

x

+2，其中k，m∈R，且m≠0．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）k如何取值時，函數f（x）存在零點，并求出零點．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,函數的定義域及其求法

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，x≠0，從而寫出函數的定義域；
（2）函數f（x）存在零點可化為方程（1-k）x+

m

x

+2=0有根，從而求解．

解答： 解：（1）由題意，x≠0，
故函數f（x）的定義域為{x|x≠0}；
（2）∵函數f（x）存在零點，
∴（1-k）x+

m

x

+2=0，
即（1-k）x²+2x+m=0，
當1-k=0，即k=1時，x=-

m

2

；
當1-k≠0，即k≠1時，
△=4-4（1-k）m=4-4m+4km≥0，
即（1-k）m≤1時，
x=

-2±2 1-m+km

2(1-k)

=

-1± 1-m+km

1-k

．

點評：本題考查了函數的定義域及函數的零點的判斷，屬于基礎題．