Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數列．
（1）求角B的值；
（2）若b=5，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用等差中項的定義找出等量關系，再利用三角恒等變換化簡求解；
（2）先由正弦定理用角A、B表示出a、b，實現了邊向角的轉變，進而轉化成三角函數求值域問題求解．

解答：解：（1）因為acosC，bcosB，ccosA成等差數列，所以acosC+ccosA=2bcosB，（2分）
由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，即sin（A+C）=sinB=2sinBcosB．
因為sinB≠0，∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，所以B=

π

3

．（6分）
（2）∵

a

sinA

=

b

sin π 3

=

10

3

，
∴a=

10

3

sinA，
同理c=

10

3

sinC，
因為B=

π

3

，所以A+C=

2π

3

，
所以△ABC周長=a+b+c
=5+

10

3

sinC+

10

3

sinA
=5+

10

3

sin(

2π

3

-A)+

10

3

sinA
=5+5cosA+5

3

sinA
=5+10sin(A+

π

6

)（12分）
因為0＜A＜

2π

3

，所以

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
所以△ABC周長的取值范圍為（10，15]．（14分）

點評：本題綜合考查了數列和三角函數以及解三角形的有關知識，考查了學生的分析能力和運算能力．