Question

設(shè)命題p：函數(shù)g（x）=(a-

3

2

)x是R上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+

1

16

a)的定義域為R，若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先化簡命題p、q，再根據(jù)“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，等價于

p真 ￢q真

或

￢p真 q真

進而可求出a的取值范圍．

解答：解：由命題p：函數(shù)g（x）=(a-

3

2

)x是R上的減函數(shù)，∴0＜a-

3

2

＜1，解得

3

2

＜a＜

5

2

．
由命題q：當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+

1

16

a)的定義域不為R，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞0時，要使函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+

1

16

a)的定義域為R，即對任意實數(shù)都滿足ax2-x+

1

16

a＞0，
則必有△＜0，即1-4a×

1

16

a＜0，又a＞0，解得a＞2．
由已知“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，等價于

p真 ￢q真

或

￢p真 q真

由

p真 ￢q真

得到

3

2

＜a≤2；
由

￢p真 q真

得到a≥

5

2

．
綜上可知：a的取值范圍是：

3

2

＜a≤2或a≥

5

2

．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合命題的真假，充分理解性質(zhì)及判斷方法是解決問題的關(guān)鍵．