Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），離心率為

2

2

．直線(xiàn)y=k（x+1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q．
（ I）求橢圓C的方程；
（ II）若OP⊥OQ（其中O為原點(diǎn)），求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）題目給出了c，由離心率求出a，結(jié)合b²=a²-c²求出b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出P和Q的坐標(biāo)，把智子安方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系求出P，Q的橫坐標(biāo)的和與積，由OP⊥OQ得到P，Q兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，代入后可求k的值．

解答：解：（ I）由題意可知，c=1，

c

a

=

2

2

，所以a=

2

，b²=a²-c²=1，
所以，橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（ II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

消y整理得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，△=16k⁴-4（2k²+1）（2k²-2）=8k²+8＞0，
x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1•x2=

2k2-2

2k2+1

，
因?yàn)镺P⊥OQ，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
又因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在直線(xiàn)y=k（x+1）上，
所以y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
所以x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1x2+x1+x 2+1)
=

2k2-2

2k2+1

+k2(

2k2-2

2k2+1

-

4k2

2k2+1

+1)=0，
化簡(jiǎn)得

k2-2

2k2+1

=0，
解得k=±

2

，
故k的值為±

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，是中檔題．