Question

已知函數f（x）為偶函數，滿足f（x+1）=1-f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-k有四個零點，則實數k的取值范圍是

[0，

1

4

]

．

Answer 1

分析：由f（x+1）=1-f（x）可得函數f（x+2）=f（x），故函數f（x）是以2為周期的周期函數．由題意可得函數y=f（x）的圖象與直線y=k（x+1）在區間[-1，3]內有4個交點，根據奇偶性和周期性作出f（x）、y=k（x+1）的圖象，數形結合可得實數k的取值范圍．

解答：解：由f（x+1）=1-f（x）可得函數f（x+2）=1-f（x+1）=1-[1-f（x）]=f（x），故函數f（x）是以2為周期的周期函數．
函數g（x）=f（x）-kx-k有四個零點，故函數y=f（x）的圖象與直線y=k（x+1）在區間[-1，3]內有4個交點．
再根據函數f（x）為偶函數，如圖所示：可得0＜k，且 k（3+1）≤1，求得0＜k≤

1

4

，
故答案為 （0，

1

4

]．

點評：本題主要考查方程的根的存在性以及根的個數判斷，函數的奇偶性，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．