Question

（2011•嘉定區一模）已知函數f（x）=|x|•（x-a）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）設函數f（x）在區間[0，2]上的最小值為m（a），求m（a）的表達式；
（3）若a=4，證明：方程f（x）+

4

x

=0有兩個不同的正數解．

Answer 1

分析：（1）a=0時，f（x）是奇函數；a≠0時，f（x）既不是奇函數也不是偶函數．
（2）當x∈[0，2]時，f（x）=x²-ax=（x-

a

2

）²-

a2

4

，函數f（x）圖象的對稱軸為直線x=

a

2

，利用a的不同取值進行分類討論，能求出m（a）．
（3）若a=4，則x＞0時，f（x）=x2-4x+

4

x

=0，方程可化為

4

x

=-x2+4x．令g(x)=

4

x

，h（x）=-x²+4x，在同一直角坐標系中作出函數g（x），h（x）在x＞0時的圖象，數形結合能證明方程f（x）+

4

x

=0有兩個不同的正數解．

解答：解：（1）∵f（x）=|x|•（x-a）．
∴a=0時，f（x）=|x|x是奇函數；…（2分）
a≠0時，f（x）=|x|•（x-a）既不是奇函數也不是偶函數．…（2分）
（2）當x∈[0，2]時，f（x）=x²-ax=（x-

a

2

）²-

a2

4

，
函數f（x）圖象的對稱軸為直線x=

a

2

．…（1分）
當

a

2

＜0，即a＜0時，函數f（x）在[0，2]上是增函數，
所以m（a）=f（0）=0；（1分）
當0≤

a

2

≤2，即0≤a≤4時，函數f（x）在[0，

a

2

]上是減函數，在[

a

2

，2]上是增函數，
所以m（a）=f（

a

2

）=-

a2

4

；…（1分）
當

a

2

＞2，即a＞4時，函數f（x）在[0，2]上是減函數，
所以m（a）=f（2）=4-2a．…（1分）
綜上，m（a）=

0，a＜0 - a2 4 ，0≤a≤4 4-2a，a＞4

．…（2分）
（3）證明：若a=4，則x＞0時，f（x）=x2-4x+

4

x

=0，方程可化為x2-4x+

4

x

=0，
即

4

x

=-x2+4x．…（2分）
令g(x)=

4

x

，h（x）=-x²+4x，
在同一直角坐標系中作出函數g（x），h（x）在x＞0時的圖象．…（2分）
因為g（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），
即當x=2時，
函數h（x）圖象上的點在函數g（x）圖象點的上方．…（3分）
所以函數g（x）與h（x）的圖象在第一象限有兩個不同交點．
即方程f（x）+

4

x

=0有兩個不同的正數解．…（1分）

點評：本題考查函數的奇偶性的判斷，考查函數最小值的求法，證明方程有兩個不同的正數解．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論法和數形結合思想的靈活運用．