Question

已知函數f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）
（1）討論f（x）的奇偶性與單調性；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域，再驗證f（-x）與f（x）的關系，可得函數為奇函數；利用導數，結合分類討論，可得函數的單調性；
（2）根據不等式的解集與方程解的關系，建立等式，從而可求a的值．

解答：解：（1）∵

1+x＞0 1-x＞0

，∴f（x）定義域為x∈（-1，1）
∵f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
∴f（x）為奇函數；
∵f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），
∴f(x)=loga

1+x

1-x

，
求導得f′(x)=

1-x

1+x

•logae•(

1+x

1-x

)′=

2

1-x2

logae，
①當a＞1時，f'（x）＞0，∴f（x）在定義域內為增函數；
②當0＜a＜1時，f'（x）＜0，∴f（x）在定義域內為減函數；
（2）①當a＞1時，∵f（x）在定義域內為增函數且為奇函數，不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}
∴f(

1

2

)=2，∴log_a3=2，∴a=

3

；
②當0＜a＜1時，
∵f（x）在定義域內為減函數且為奇函數，不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}
∴f(-

1

2

)=2，∴loga

1

3

=2，∴a=

3

3

．

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性，考查解不等式，考查學生的計算能力，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．