Question

已知函數f（x）=（x-2）e^x和g（x）=ax³+bx²+cx+d．
（1）求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）若b=-3，c=0，d=1時，g（x）在x∈（0，+∞）內只有一個零點，求a的取值范圍；
（3）若b=0，c=-1，d=-2，當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數零點的判定定理

專題：計算題,分類討論,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，求出切線的斜率和切點，再由斜截式方程，即可得到切線方程；
（2）求出g（x）的導數，對a討論，a≤0，a＞0，結合函數的單調性，即可求得a的范圍；
（3）構造h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2，轉化h（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通過h'（0）=0，對a≤

1

6

時，a＞

1

6

時，判斷函數的單調性，以及函數的最值，是否滿足題意，求出k的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x+（x-2）e^x=（x-1）e^x，
則f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為（0-1）e⁰=-1，
切點為（0，-2），則切線方程為y=-x-2；
（2）g（x）=ax³-3x²+1，g′（x）=3ax²-6x，
當a≤0時，g（x）在x＞0，g′（x）＜0，則g（x）遞減，則g（x）在x∈（0，+∞）內只有一個零點；
當a＞0時，g′（x）＞0，解得，x＞

2

a

，g′（x）＜0，解得0＜x＜

2

a

，
則g（

2

a

）取極小值，由于g（0）=1，則只要g（

2

a

）=0，即有g（x）在x∈（0，+∞）內只有一個零點．
由g（

2

a

）=a•

8

a3

-

12

a2

+1=0，解得a=2（-2舍去）．
則a的取值范圍是（-∞，0]∪{2}；
（3）令h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2，
依題可知h（x）=（x-2）e^x-ax³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，
h'（x）=（x-1）e^x-3ax²+1，令φ（x）=h'（x）=（x-1）e^x-3ax²+1，
有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（e^x-6a），
①當6a≤1，即a≤

1

6

時，
因為x≥0，e^x≥1，所以φ'（x）=x（e^x-6a）≥0
所以函數φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上單調遞增，又由φ（0）=h'（0）=0
故當x∈[0，+∞）時，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上單調遞增，
又因為h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，滿足題意；
②當6a＞1，即a＞

1

6

時，
當x∈（0，ln（6a）），φ'（x）=x（e^x-6a）＜0，函數φ（x）即h'（x）單調遞減，
又由φ（0）=h'（0）=0，所以當x∈（0，ln（6a）），h'（x）＜h'（0）=0
所以h（x）在（0，ln（6a））上單調遞減，
又因為h（0）=0，所以x∈（0，ln（6a））時h（x）＜0，
這與題意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．
綜上a≤

1

6

，即a的最大值是

1

6

．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，求單調區間和極值、最值，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．