Question

已知點A、B、C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則關于x的方程x²

OA

+x

OB

+

AC

=0的解集為（　　）

• A、{

  -1- 5

  2

  ，

  -1+ 5

  2

  }
• B、{-1}
• C、?
• D、{-1，0}

Answer 1

分析：由于點A、B、C是直線l上不同的三個點，利用向量共線定理可得：存在非0實數t（t≠1）使得

AC

=t

AB

．于是x²

OA

+x

OB

+

AC

=

0

，化為(x2-t)

OA

+(x+t)

OB

=

0

，由平面向量基本定理可得：

x2-t=0 x+t=0

，解得并驗證即可．

解答：解：∵點A、B、C是直線l上不同的三個點，∴存在非0實數t（t≠1）使得

AC

=t

AB

．
∵x²

OA

+x

OB

+

AC

=

0

，∴x2

OA

+x

OB

+t(

OB

-

OA

)=

0

，
化為(x2-t)

OA

+(x+t)

OB

=

0

，
由平面向量基本定理可得：

x2-t=0 x+t=0

，解得

x=0 t=0

或

x=-1 t=1

．
∵點A、B、C是直線l上不同的三個點，∴t≠0，1．
因此關于x的方程x²

OA

+x

OB

+

AC

=

0

的解集為∅．
故選：C．

點評：本題考查了向量共線定理、平面向量基本定理，屬于基礎題．