Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1．已知G，E分別為A₁B₁，CC₁的中點，D，F分別為線段AC，AB上的動點（不包括端點）．若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據直三棱柱中三條棱兩兩垂直，可建立空間直角坐標系，設出F、D的坐標，求出向量 ，利用GD⊥EF求得關系式，寫出DF的表達式，然后利用二次函數求最值即可．
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），E（0，1，），
G（ ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）
∴
∵GD⊥EF，
∴x+2y-1=0，
∴x=1-2y
DF====
∵0＜y＜1
∴當y=時，線段DF長度的最小值是
又y=1時，線段DF長度的最大值是 1
而不包括端點，故y=1不能取；
故線段DF的長度的取值范圍是：．
故選A．
點評：本題的考點是點、線、面間的距離計算，主要考查棱柱的結構特征、空間直角坐標系等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．