Question

如圖，分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區域．
（1）若向該正方形內隨機投一點，求該點落在陰影區域的概率？
（2）給正方形ABCD的四個頂點都作上一個標記，現有四種標記可供選擇，記“任一線段上（四邊）的兩個頂點標記都不同”為事件A，求事件A發生的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個幾何概型，試驗發生包含的所有事件是矩形面積，而滿足條件的陰影區域，可以通過空白區域面得到，空白區域可以看作是由8部分組成，每一部分是由邊長為

AB

2

的正方形面積減去半徑為

AB

2

的四分之一圓的面積得到．
（2）先根據乘法原理計算出基本事件的總數，再對事件A進行分類討論：包含：用兩種標記，用三種標記，用四種標記，得出事件A包含的基本事件數，最后利用等可能事件的概率計算公式求解．

解答：解：（1）由題意知本題是一個幾何概型，設正方形ABCD的邊長為2，
∵試驗發生包含的所有事件是矩形面積S=2×2=4，
空白區域的面積是2（4-π）=8-2π，
∴陰影區域的面積為4-（8-2π）=2π-4
∴由幾何概型公式得到P=

2π-4

4

=

π

2

-1，
（2）基本事件的總數4 ⁴
事件A包含：用兩種標記，則ACBD顏色相同，A₄²種；
用三種標記，則AC或BD顏色相同有2A₄³種；
用四種標記有A₄⁴種
所以事件A包含的基本事件數為84種
所以P（A）=

21

64

點評：本題考查幾何概型、等可能事件的概率，且把幾何概型同幾何圖形的面積結合起來，幾何概型和古典概型是高中必修中學習的，高考時常以選擇和填空出現，有時文科會考這種類型的解答．