Question

已知雙曲線的兩個焦點為的曲線C上.（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）方程分別為y=和

【解析】

試題分析：(Ⅰ)依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為（0＜a²＜4)，

將點（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，故所求雙曲線方程為

(Ⅱ)依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,

∴  ∴k∈(－)∪(1,).

設E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=，而原點O到直線l的距離d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±，滿足②.

故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和

考點：雙曲線的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．

點評：本題主要考查了雙曲線的方程和雙曲線與直線的關系,注意計算的靈活處理，考查了學生綜合運

算能力．