Question

已知函數f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在區間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）畫出函數在[0，π]上的圖象．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：作圖題,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=

3

sin2x+cos2x，可得f（x）的最小正周期為π，由-

π

6

≤x≤

π

4

，可得-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

于是可求在區間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）根據五點作圖法即可畫出函數在[0，π]上的圖象．

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=

3

sin2x+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
所以f（x）的最小正周期為π，
因為-

π

6

≤x≤

π

4

，所以-

π

6

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
于是，當2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時，f（x）取得最大值2；
當2x+

π

6

=-

π

6

，即x=-

π

6

時，f（x）取得最小值-1．
（Ⅱ）函數在[0，π]上的圖象如下：

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，五點作圖法做正弦函數的圖象，屬于基本知識的考查．