Question

已知函數f（x）=（-x²+ax+b）e^-x，a∈R
（1）若b=-a，求y=f（x）的單調區間；
（2）若b=0，且f（x）在（-1，1）上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先解出f^′（x）=0，通過對a分類討論即可得出其單調區間；
（2）f（x）在（-1，1）上單調遞減?f^′（x）≤0，解出即可．

解答：解：（1）當b=-a時，函數f（x）=（-x²+ax-a）e^-x，∴f^′（x）=[x²-（2+a）x+2a]e^-x=（x-a）（x-2）e^-x，令f^′（x）=0，則x=2或a．
①當a=2時，f^′（x）=（x-2）²e^-x≥0，因此f（x）在R上單調遞增；
②當a＞2時，如表所示，函數在區間（-∞，2），（a，+∞）上單調遞增；在區間（2，a）上單調遞減；
③同理：當a＜2時，函數在區間（-∞，a），（2，+∞）上單調遞增；在區間（a，2）上單調遞減．
（2）b=0，f（x）=（-x²+ax）e^-x，∴f^′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x．
∵f（x）在（-1，1）上單調遞減，∴f^′（x）≤0，∴x²-（a+2）x+a≤0在（-1，1）上單調遞減，
∴

f(-1)≤0 f(1)≤0

，解得a≤-

3

2

．
因此a的取值范圍為(-∞，-

3

2

]．

點評：熟練掌握利用對數研究函數的單調性和極值及分類討論的思想方法是解題的關鍵．