Question

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn)，N是棱CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（　　）
（1）MN⊥AB；
（2）V_A-MCD=V_B-MCD；
（3）平面CDM⊥平面ABN；
（4）CM與AN是相交直線．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

（1）連接CM、DM
∵正△ABC中，M為AB的中點(diǎn)
∴CM⊥AB
同理DM⊥AB，結(jié)合MC∩MD=M
∴AB⊥平面CDM，而MN⊆平面CDM
∴MN⊥AB，故（1）是正確的；
（2）棱錐A-MCD與棱錐B-MCD的底面均為三角形MCD，
由（1）得AB⊥平面CDM，
且M為AB的中點(diǎn)，
則棱錐A-MCD與棱錐B-MCD的高AM=BM
故V_A-MCD=V_B-MCD；
故（2）正確；
（3）由（1）的證明知：AB⊥平面CDM
∵AB?平面ABN
∴平面ABN⊥平面CDM，故（3）正確；
（4）CM∩平面ACD=C
AN?平面ACD且C∉AN．
故CM與AN是異面直線
綜上所述，正確的命題為（1）（2）（3）
故選C