Question

【題目】為研究女高中生身高與體重之間的關系，一調查機構從某中學中隨機選取8名女高中生，其身高和體重數據如下表所示：

編號	1	2	3	4	5	6	7	8
身高	164	160	158	172	162	164	174	166
體重	60	46	43	48	48	50	61	52

該調查機構繪制出該組數據的散點圖后分析發現，女高中生的身高與體重之間有較強的線性相關關系.

（1）調查員甲計算得出該組數據的線性回歸方程為，請你據此預報一名身高為的女高中生的體重；

（2）調查員乙仔細觀察散點圖發現，這8名同學中，編號為1和4的兩名同學對應的點與其他同學對應的點偏差太大，于是提出這樣的數據應剔除，請你按照這名調查人員的想法重新計算線性回歸話中，并據此預報一名身高為的女高中生的體重；

（3）請你分析一下，甲和乙誰的模型得到的預測值更可靠？說明理由.

附：對于一組數據，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：.

Answer 1

【答案】（1）一名身高為的女大學生的體重約為（2）回歸方程為，一名身高為的女大學生的體重約為（3）乙的模型得到的預測值更可靠，詳見解析

【解析】

（1）計算平均數，求出，即可求出回歸方程；把178代入即可求出的女大學生的體重；

（2）根據余下的數據計算平均數，求出，，即可求出回歸方程；代入公式，即可求出身高為的女大學生的體重；

（3）從散點圖以及計算數據兩個方面來分析甲和乙誰的方程可靠．

解：（1）經計算：，

于是：，

則該組數據的線性回歸方程為，

當時，，

于是：一名身高為的女大學生的體重約為；

（2）按照調查人員乙的想法，剩下的數據如下表所示：

編號	2	3	5	6	7	8
身高	160	158	162	164	174	166
體重	46	43	48	50	61	52

經計算：，

于是：

，

則該組數據的線性回歸方程為，

當時，，

于是：一名身高為的女大學生的體重約為；

（3）乙的模型得到的預測值更可靠，

理由如下：①從散點圖可以看出，第一組數據和第四組數據確實偏差較大，為更準確的刻畫變化趨勢，有必要把這兩個數據剔除掉；

②從計算結果來看，相對于第七組數據的女大學生體重，甲對身高的女大學生的預測值明顯偏低，而利用乙的回歸方程得到的預測值增幅較合理.

（以上給出了兩種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分）