Question

△ABC中，命題p：cosB＞0；命題q：函數y=sin(B+

π

3

)為減函數
設向量

m

=(sin(

π

3

+B)，sinB-sinA)，

n

=(sin(

π

3

-B)，sinB+sinA)
（1）如果命題p為假命題，求函數y=sin(B+

π

3

)的值域；
（2）命題p且q為真命題，求B的取值范圍
（3）若向量

m

⊥

n

，求A．

Answer 1

分析：（1）由題意可得cosB≤0 可得

π

2

≤B＜π，

5π

6

≤B+

π

3

＜

4π

3

，從而得到函數y=sin(B+

π

3

)的值域．
（2）由 cosB＞0 可得 0＜B＜

π

2

，再根據函數y=sin(B+

π

3

)為減函數，求得

π

6

＜B＜

π

2

．
 （3）若向量

m

⊥

n

，則

m

•

n

=0，求得 sin²A=

3

4

，即 sinA=

3

2

，可得A 的值．

解答：解：（1）由題意可得cosB≤0，∴

π

2

≤B＜π，∴

5π

6

≤B+

π

3

＜

4π

3

，
故函數y=sin(B+

π

3

)的值域為（-

3

2

，

1

2

]．
（2）由于命題p且q為真命題，∴cosB＞0，∴0＜B＜

π

2

．∵函數y=sin(B+

π

3

)為減函數，
∴

π

2

＜B+

π

3

＜

5π

6

，∴

π

6

＜B＜

π

2

．
（3）若向量

m

⊥

n

，則

m

•

n

=0，∴sin（

π

3

+B） sin（

π

3

- B）+（sinB-sinA）（sinB+sinA）=0，

3

4

cos²B-

1

4

sin2B+sin²B-sin²A=0，∴sin²A=

3

4

，∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

，或

2π

3

．

點評：本題考查正弦函數的單調性，定義域和值域，根據三角函數的值求角，兩個向量垂直的性質，求出sinA的值，是解題的難點．