Question

【題目】已知動點滿足，記M的軌跡為曲線C，直線l：（）交曲線C于P，Q兩點，點P在第一象限，軸，垂足為E，連接QE并延長交曲線C于點G.

（1）求曲線C的方程，并說明曲線C是什么曲線；

（2）若，求的面積.

（3）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1），軌跡是以、為焦點的橢圓

（2）

（3）

【解析】

(1)根據，由兩點間的距離公式可看出，其表示動點與兩定點、的距離之和為，且，可知其符合橢圓的定義，把相關量代入橢圓標準方程，即可求解；

(2)寫出直線的方程與曲線的方程聯立，便可解出點坐標，進而知道點的坐標，再求出直線的方程后，與曲線的方程聯立，可解出點的坐標，再代公式，即可求出面積；

(3)將直線的方程與曲線的方程聯立，解出點坐標，進而得點的坐標，再求出直線的方程后，與曲線的方程聯立，可得點坐標，再根據點坐標，得直線的斜率，可驗證，得是直角三角形，代兩點間的距離公式可求出，所以是一個關于直線的斜率的函數，由函數求最值的方法，即可求解.

（1）由，可得點到點、的距離之和為4且，所以動點的軌跡是以、的橢圓，其中，，即，，所以曲線C的軌跡方程為，軌跡是以、的橢圓.

（2）根據題意得，與聯立

，解得或

所以P點坐標為，Q點坐標為

因為軸，垂足為E，所以E點坐標為

所以直線QE方程為

與聯立，可得，整理可得或

所以G點坐標為

（3）設直線PQ的斜率為k，則其方程為（）.由得.

記，則，，.

于是直線QG的斜率為，方程為.

由得——①

設，則和是方程①的解，故.由此得.

從而直線PG的斜率為.

所以，即是直角三角形.

得，.

所以的面積.

設，則由得，當且僅當時取等號.

因為在單調遞減，所以當，即時，S取得最大值，最大值為.

因此，面積的最大值為.