Question

某種汽車購買時費用為14.4萬元，每年應交付保險費、養路費及汽油費共0.9萬元，汽車的維修費為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數列逐年遞增．
（Ⅰ）設使用n年該車的總費用（包括購車費用）為f（n），試寫出f（n）的表達式；
（Ⅱ）求這種汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年平均費用最少）．

Answer 1

分析：（I）由已知中某種汽車購買時費用為14.4萬元，每年應交付保險費、養路費及汽油費共0.9萬元，汽車的維修費為：第一年0.2萬元，第二年0.4萬元，第三年0.6萬元，…，依等差數列逐年遞增，根據等差數列前n項和公式，即可得到f（n）的表達式；
（II）由（I）中使用n年該車的總費用，我們可以得到n年平均費用表達式，根據基本不等式，我們易計算出平均費用最小時的n值，進而得到結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n    …（3分）
=14.4+

0.2n(n+1)

2

+0.9n…（5分）
=0.1n²+n+14.4…（7分）
（Ⅱ）設該車的年平均費用為S萬元，則有S=

1

n

f(n)=

1

n

(0.1n2+n+14.4)…（9分）
=

n

10

+

14.4

n

+1≥2

1.44

+1
=2×1.2+1=3.4
僅當

n

10

=

14.4

n

，即n=12時，等號成立．…（13分）
故：汽車使用12年報廢為宜．…（14分）

點評：本題考查的知識點是根據實際問題選擇函數類型，基本不等式在最值問題中的應用，數列的應用，其中（I）的關鍵是由等差數列前n項和公式，得到f（n）的表達式，（II）的關鍵是根據基本不等式，得到函數的最小值點．