Question

已知數列{a_n}的首項為1，向量

pn

=（1+a_n+1，-3），

qn

=（1，a_n+1），n∈N^*，且

pn

⊥

qn

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{a_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由向量垂直得到數列遞推式
（1）直接把數列遞推式變形構造等比數列求得數列{a_n}的通項公式；
（2）分組后利用等比數列的前n項和得答案．

解答： 解：∵向量

pn

=（1+a_n+1，-3），

qn

=（1，a_n+1），n∈N^*，且

pn

⊥

qn

．
∴1+a_n+1-3a_n-3=0，即a_n+1=3a_n+2．
（1）由a_n+1=3a_n+2，得a_n+1+1=3（a_n+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=2≠0，
∴數列{a_n+1}是以2為首項，以3為公比的等比數列，
∴an+1=2•3n-1，an=2•3n-1-1．
（2）數列{a_n}的前n項和Sn=(2•30+2•31+…+2•3n-1)-n
=2×

1×(1-3n)

1-3

-n=3ⁿ-n-1．

點評：本題考查了平面向量的應用，考查了等比關系的確定，考查了構造法求數列的通項公式，是中檔題．