Question

已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意n∈N^*，2

Sn

是a_n+2和a_n的等比中項．
（1）證明：數列{a_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由2

Sn

是a_n+2和a_n的等比中項得到數列遞推式4Sn=an2+2an，在該數列遞推式中取n=1求得首項，取n=n-1得另一遞推式，作差后得到數列{a_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）直接利用等差數列的前n項和公式得答案．

解答： 證明：（1）∵2

Sn

是a_n+2和a_n的等比中項，
∴4Sn=(an+2)an=an2+2an  ①，
當n≥2時，4Sn-1=an-12+2an-1  ②，
①-②得4an=an2-an-12+2(an-an-1)，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數列{a_n}的各項均為正數，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
又在①中取n=1，得4a1=a12+2a1，解得a₁=2．
∴數列{a_n}為以2為首項，以2為公差的等差數列，
則a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=2n+

2n(n-1)

2

=n²+n．

點評：本題考查了等差關系的確定，考查了等差數列的通項公式和求和公式，是中檔題．