Question

已知函數(shù)f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我們稱使f（x）=0成立的x為函數(shù)的零點．證明：當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）只有一個零點；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證明當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）只有一個零點，只須證明f（x）在（0，1）為增函數(shù)即可，最后只須證明f′（x）＞0即可；
（II）先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立問題，列出關(guān)于a的不等關(guān)系解之即得．
解答：（Ⅰ）證明：∵f（x）在（0，1）為增函數(shù)，
在（1，+∞）上為減函數(shù)．∴f（x）的最大值為f（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）只有一個零點．（4分）
（Ⅱ）解：∵
①當(dāng)a=0時，不成立．
②當(dāng)a＞0時，f'（x）＜0，得，∴．
③當(dāng)a＜0時，f'（x）＜0，得，∴
綜上得：（12分）
點評：本小題主要考查函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點的判定定理、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．