Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，橢圓C的上、下頂點分別為A₁，A₂，左、右頂點分別為B₁，B₂，左、右焦點分別為F₁，F₂．原點到直線A₂B₂的距離為

2 5

5

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點且斜率為

1

2

的直線l，與橢圓交于E，F點，試判斷∠EF₂F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；
（3）P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點，直線PA₁，PA₂，分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析：（1）由已知中橢圓的離心率，可設a=2m，c=

3

m，結合原點到直線A₂B₂的距離為

2 5

5

，求出m值，進而得到a，b的值，可得橢圓C的方程；
（2）聯立直線l與橢圓的方程，進而求出E，F點，利用向量法可求出∠EF₂F是銳角；
（3）設P（x₀，y₀），求出直線PA₁，PA₂的方程，
解法一：設圓G的圓心為（

1

2

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

），h），根據圓心到切線的距離等于半徑，可求出OT的長為定值2
解法二：根據OM•ON=|（-

x0

y0-1

）•

x0

y0+1

|=

x 2 0

1- y 2 0

，

x 2 0

4

+y₀²=1，結合切割線定理得OT的長為定值2．

解答：解：（1）因為橢圓C的離心率e=

3

2

，
故設a=2m，c=

3

m，則b=m．
直線A₂B₂方程為 bx-ay-ab=0，
即mx-2my-2m²=0．
所以 

2m2

m2+4m2

=

2 5

5

，解得m=1．
所以 a=2，b=1，橢圓方程為

x2

4

+y²=1．               
（2）由

x2

4

+y²=1及y=

1

2

x得：
x=±

2

，則E（

2

，

2

2

），F（-

2

，-

2

2

），
又∵橢圓

x2

4

+y²=1的右焦點F₂的坐標為（

3

，0）
∴

F2E

=（

2

-

3

，

2

2

），

F2F

=（-

2

-

3

，-

2

2

），
∴

F2E

•

F2F

=（

2

-

3

）×（-

2

-

3

）+

2

2

×（-

2

2

）=

1

2

＞0，
∴∠EF₂F是銳角
（3）由（1）可知A₁（0，1）A₂（0，-1），設P（x₀，y₀），
直線PA₁：y-1=

y0-1

x0

x，令y=0，得x_N=

x0

y0-1

；
直線PA₂：y+1=

y0+1

x0

x，令y=0，得x_M=

x0

y0+1

；
解法一：設圓G的圓心為（

1

2

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

），h），
則r²=[

1

2

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

）-

x0

y0+1

]²+h²=

1

4

（

x0

y0+1

+

x0

y0-1

）²+h²．
OG²=

1

4

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

）²+h²．
OT²=OG²-r²=

1

4

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

）²+h²-

1

4

（

x0

y0+1

+

x0

y0-1

）²-h²=

x 2 0

1- y 2 0

．
而

x 2 0

4

+y₀²=1，所以x₀²=4（1-y₀²），所以OT²=4，
所以OT=2，即線段OT的長度為定值2．…（16分）
解法二：OM•ON=|（-

x0

y0-1

）•

x0

y0+1

|=

x 2 0

1- y 2 0

，
而

x 2 0

4

+y₀²=1，所以x₀²=4（1-y₀²），所以OM•ON=4．
由切割線定理得OT²=OM•ON=4．
所以OT=2，即線段OT的長度為定值2．…（16分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，橢圓的標準方程，直線與圓的位置關系，是解析幾何的綜合應用，難度較大，屬于難題．