Question

設圓C：x²+y²=3，直線l：x+3y-6=0，點P（x，y）∈l，存在點Q∈C，使∠OPQ=60°（O為坐標原點），則x的取值范圍是（ ）
A．
B．[0，1]
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：圓O外有一點P，圓上有一動點Q，∠OPQ在PQ與圓相切時取得最大值．如果OP變長，那么∠OPQ可以獲得的最大值將變小．因為sin∠OPQ=，QO為定值，即半徑，PO變大，則sin∠OPQ變小，由于∠OPQ∈（0，），所以∠OPQ也隨之變小．可以得知，當∠OPQ=60°，且PQ與圓相切時，PO=2，而當PO＞2時，Q在圓上任意移動，∠OPQ＜60°恒成立．因此，P的取值范圍就是PO≤2，即滿足PO≤2，就能保證一定存在點Q，使得∠OPQ=60°，否則，這樣的點Q是不存在的．
解答：解：由分析可得：PO²=x²+y²
又因為P在直線L上，所以x=-（3y-6）
故10y²-36y+3≤4
解得 ，
即x的取值范圍是 ，
故選C
點評：解題的關鍵是結合圖形，利用幾何知識，判斷出PO≤2，從而得到不等式求出參數的取值范圍．