Question

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.

（1）求橢圓的方程；

（2）點P 為橢圓上一點，直線，判斷l與橢圓的位置關系并給出理由；

（3）過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線于點A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

 

Answer 1

(1) ;(2) 直線l與橢圓相切;(3)

【解析】

試題分析：(1)直線是拋物線的一條切線.所以將直線代入拋物線方程，即，得出的值，利用，橢圓中,依次解出,從而解出方程；

（2）直線與橢圓方程聯立，注意用到平方相減消，得到關于的方程，求其，利用點在橢圓上的條件，判定直線與橢圓的位置關系;

（3）首先取兩種特殊情形：切點分別在短軸兩端點時,求其切線方程，并求他們的交點，交點有可能是恒過的定點，如果是圓上恒過的定點，如果是則需滿足，,從而判定所求交點是否是真正的定點.此題屬于較難習題.

試題解析：（1）因為直線是拋物線的一條切線，所以，

即 2分

又，所以，

所以橢圓的方程是. 4分

（2）由得

由①2+②得

∴直線l與橢圓相切 9分

(3）首先取兩種特殊情形：切點分別在短軸兩端點時，

求得兩圓的方程為

，

兩圓相交于點（，0），（，0），

若定點為橢圓的右焦點（.

則需證：.

設點，則橢圓過點P的切線方程是，

所以點

，

所以. 11分

若定點為，

則，不滿足題意.

綜上，以線段AP為直徑的圓恒過定點（，0）. 14分

考點：1.橢圓的性質與方程；2.直線與圓錐曲線相交時的綜合問題.